SOAL PAS BESERTA PENYELESAIANNYA

1. Diketahui premis-premis berikut: Premis 1: Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka lingkungan bersih. Premis 2: Jika lingkungan bersih maka hidup akan nyaman. Kesimpulan yang sah dari kedua premis tersebut adalah...

Pembahasan:
Pola Silogisme
Premis 1 : p ~ q
Premis 2 : q ~ r
--------------------
P ~ r
Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka hidup akan nyaman.

2. Buktikan dengan induksi matematika bahwa 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) = n² berlaku untuk setiap n bilangan asli. 

Pembahasan:
Buktikan untuk n = 1 benar
Misal untuk n = k benar, akan dibuktikan untuk n = (k + 1) juga benar

Pembahasan
1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) = n²

Langkah pertama
Akan dibuktikan untuk n = 1 Benar
(2n – 1) = n²
2(1) – 1 = 1²
2 – 1 = 1
1 = 1 (benar)

Langkah kedua
Misal untuk n = k benar
1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k – 1) = k²
Akan dibuktikan untuk n = (k + 1) juga benar
1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1) = (k + 1)²

|__________________|

k² + (2(k + 1) – 1) = (k + 1)²
k² + 2k + 2 – 1 = (k + 1)²
k² + 2k + 1 = (k + 1)²
(k + 1)² = (k + 1)²
(Benar)

Jadi TERBUKTI bahwa 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) = n² berlaku untuk setiap n bilangan asli

3.

Pembahasan:






Jadi, terbukti benar

4. Pembahasan:






5. Pembahasan:



6. Pembahasan:
buktikan kebenaran untuk

(Benar)

2) asumsikan benar untuk
,
( menunjukkan bahwa merupakan kelipatan 9)

3) cek kebenaran untuk

akan terbukti benar jika habis dibagi 9
bisa buktikan itu dengan induksi lagi
buktikan bahwa habis dibagi 9

1) cek kebenaran untuk

(benar)

2) asumsikan benar untuk

3) cek kebenaran untuk

terbukti bahwa habis dibagi 9 benar
maka pernyataan awal tadi juga benar

7. Buktikan untuk masing masing bilangan asli n _> 5 akan berlaku 2n-3 < 2n-2
Pembahasan:
n_ >5 = {1,2,3,4,5}
2n-3 < 2n-2
=2(1)-3 < 2(1)-2
=(-1) < 0 (benar)

2(2) -3 < 2(2) -2
=1 < 2 (benar)

2(3) -3 < 2(3) -2
=3 < 4 (benar)

2(4) -3 < 2(4) -2
=5 < 6 (benar)

2(5) -3 < 2(5) -2
=7 < 8 (benar)

8. Penyelesaian dari sistem persamaan 2x - 3y = -13 dan x + 2y = 4 adalah
Pembahasan:
Persamaan x+2y=4 kita kalikan dengan 2, maka menjadi
2x + 4y = 8 (persamaan 1)
2x - 3y = -13 (persamaan 2)
--------------- - (dikurangi)
7y = 21
y = 21/7
y = 3

Nilai y = 3 kita masukkan kdlam salah satu persamaan di atas, misalkan pada
persamaan x + 2y = 4,
x + 2.3 = 4
x + 6 = 4
x = 4 - 6
x = -2

Jadi penyelesainnya adalah x= -2 dan y = 3

9. Harga 5 kg gula dan 30 kg beras adalah Rp 410.000,00, sedangkan harga 2 kg gula dan 60 kg beras adalah Rp 740.000,00. Harga 2 kg gula dan 5 kg beras adalah ....
Pembahasan:
gula = x
beras = y
5x + 30y = 410.000 |*2
2x + 60y = 740.000 |*1


10x + 60y = 820.000
2x + 60y = 740.000
_________________-
8x = 80.000
x = 10.000

Subtitusikan x nya ke persamaan
2x + 60y = 740.000
2(10.000) + 60y = 740.000
20.000 + 60y = 740.000
60y = 720.000
y = 12.000

Jadi, harga 1kg gula = Rp 10.000 dan 1kg beras = Rp 12.000
maka 2kg gula dan 5kg beras
= 2(10.000) + 5(12.000)
= 20.000 + 60.000
= Rp 80.000

10. Pembahasan:

x	0	3
y	5	0
(x,y)	(0,5)	(3,0)

11. Pembahasan:

x	0	3
y	5	0
(x,y)	(0,5)	(3,0)

12. Pembahasan:






13. Daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan…


Pembahasan:




14. Tentukan nilai maksimum dari 3x + 2y yang memenuhi x + y ≤ 5 , x ≥ 0 , y ≥ 0, dan x , y ∈ R
Pembahasan:




Jadi, nilai maksimum dicapai pada titik (5,0) yaitu: 3 . 5 + 2 . 0 = 15

15. Luas tempat parkir adalah 420m². tempat parkir ygdi perlukansebuah sedan adalah5m²dan luas rata" sebuah truk 15m². tempat parkir tersebut dapat menampung tidak lebih dri 60 kendaraan biaya parkir untuk sebuah sedan Rp.3.000 dan sebuah truk Rp.5.000 jika bnyak sedan yang diparkir x buah dan bnyak truk y buah. buatlah model matematikannya
Pembahasan:

sedan: x
truk: y

5x +15y ≤420
x + 3y ≤84
x + y ≤60
x ≥ 0, y ≥ 0

Maka Model:
x + 3y ≤ 84 ; x + y ≤ 60 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

16. Seorang penjahit memiliki persediaan 20 m kain polos dan 20 m kain bergaris untuk membuat 2 jenis pakaian. pakaian model I memerlukan 1 m kain polos dan 3 m kain bergaris.pakaian model II memerlukan 2 m kain polos dan 1 m kain bergaris.pakaian model I dijual dengan harga Rp150.000,00 per potong,dan pakaian model II dijual dengan harga Rp100.000,00 per potong.penghasilan maksimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut adalah ....
Pembahasan:
(1) Dibuat permisalan menggunakan tabel

(1) Dibuat permisalan menggunakan tabel

MODEL	POLOS	GARIS	HARGA
x	1	3	Rp 150.000
y	2	1	Rp 100.000
Stok	20	20	Maksimum

x + 2y ≤ 20

3x + y ≤ 20

dengan :

x ≥ 0

y ≥ 0

Dan Fungsi Tujuan adalah harga jual :

150.000x + 100.000y

(2) Tentukan nilai fungsi x dan y pada grafik fungsi :

Dari x + 2y = 20 :

x = 0, y ⇒ 0 + 2y = 20

            ⇒       2y = 20

            ⇒          y = 20/2

            ⇒          y = 10

Titik Koordinat ⇒ (0,10)

y = 0, x ⇒ x + 2y = 20

            ⇒ x  + 0  = 20

            ⇒         x  = 20

Titik Koordinat ⇒(20,0)

Dari 3x + y = 20

x = 0 , y ⇒ 3x + y = 20

             ⇒ 0   + y = 20

Titik Koordinat ⇒ (0,20)

y = 0, x ⇒ 3x + y = 20

            ⇒ 3x + 0 = 20

            ⇒ 3x        = 20

            ⇒   x        = 20/3

Titik Koordinat ⇒ (20/3,0)

Dari Titik - titik tersebut tarik garis lurus hingga terhubung.

Lalu kita cari titik potong dari garis tersebut, dengan metode eliminasi dan subtitusi :

Eliminasi y :

x + 2y = 20  | x 1  |   x + 2y = 20

3x + y = 20  | x 2 | 6x + 2y = 40

                            ============  -

                             -5x          = -20

                                x           = 20/5

                                x           = 4

Subtitusikan nilai x pada persamaan 3x + y = 20 :

3 . 4 + y = 20

12 + y = 20

       y = 20 - 12

       y = 8

Koordinat titik potong garis pada (4,8)

(3) Selanjutnya Dari Titik - titik yang berpotongan kita uji dengan :

Fungsi Tujuan f(x,y) = 150.000x + 100.000y :

Ada 3 titik pada Grafik (perhatikan lampiran)

A. Titik (0,10) = 150.000 . (0) + 100.000 . (10) =

                      = 0 + 1.000.000 = 1.000.000

B. Titik (4,8) = 150.000 . (4) + 100.000 . (8) =

                      = 600.000 + 800.000 = 1.400.000

C. Titik (20/3,0) = 150.000 . (20/3) + 100.000 . (0) =

                        = 1.000.000 + 0 = 1.000.000

Dari Hasil Uji diatas dapat dilihat, penghasilan terbesar pada titik (4,8) yaitu sebesar Rp.1.400.000,00

17. Jika diketahui matriks , , dan ,maka determinan dari matriks C adalah


Pembahasan:
- mencari transpos matrisk A
⇒
- mencari matriks C




- mencari det C
det C = (3)(3) - (-6)(8)
= 9 + 48
det C = 57
Jadi, determinan dari matriks C adalah 57.

18. Pembahasan:



19. Jika matriks A = tidak mempunyai invers, maka nilai x adalah
Pembahasan:
Suatu matriks tidak mempunyai invers jika determinan matriks tersebut sama dengan nol
Jadi,
|A| = 0
(2x + 1)(5) – 3(6x – 1) = 0
10x + 5 – 18x + 3 = 0
8 – 8x = 0
8 = 8x
x =
x = 1

20. Pembahasan:








Jawaban: a:b = 1,7 atau 0,6

22. Suatu perusahaan pakaian, JCloth, memiliki dua pabrik yang terletak di Surabaya dan Malang. Di dua pabrik tersebut, JCloth memproduksi dua jenis pakaian, yaitu kaos dan jaket. Perusahaan tersebut memproduksi pakaian yang kualitasnya dapat dibedakan menjadi tiga jenis, yaitu standard, deluxe, dan premium. Tahun kemarin, pabrik di Surabaya dapat memproduksi kaos sebanyak 3.820 kualitas standard, 2.460 kualitas deluxe, dan 1.540 kualitas premium, serta jaket sebanyak 1.960 kualitas standard, 1.240 kualitas deluxe, dan 920 kualitas premium. Sedangkan pabrik yang terletak di Malang dapat memproduksi kaos sebanyak 4.220 kualitas standard, 2.960 kualitas deluxe, dan 1.640 kualitas premium, serta jaket sebanyak 2.960 kualitas standard, 3.240 kualitas deluxe, dan 820 kualitas premium dalam periode yang sama. Berapa total banyak pakaian yang diproduksi oleh JCloth (di kedua pabrik) pada tahun depan, untuk setiap jenis pakaian?
Pembahasan:


Dengan menjumlahkan semua elemen-elemen matriks penjumlahan tersebut, kita peroleh bahwa banyaknya pakaian yang akan diproduksi oleh JCloth kurang lebih 28.142.

23. Arman membeli 5 pensil dan 3 penghapus, sedangkan susi membelu 4 pensil dan 2 penghapus di toko yang sama. Di kasir, arman membayar Rp. 11.500 sedangkan susi membayar RP. 9.000. Jika doni membeli 6 dan 5 penghapus, berapa ia harus membayar (determinan dan matriks)
Pembahasan dengan determinan:

x = pensil
y = penghapus


5x + 3 y = 11.500 (x2)
4x + 2 y = 9.000 (x3)
_______________
10x + 6 y = 23.000
12x + 6y = 27.000
_______________ (-)
-2x = -4.000
x = 2.000


4x + 2y = 9.000
4*2000 + 2y = 9000
2y = 1000
y = 500

jadi harga pensil = 2000 dan penghapus = 500
sehingga doni harus membayar 6*2000 + 5*500 = 12.000+2.500 = 14.500
Pembahasan dengan matriks:



24. Bu Ani seorang pengusaha makanan kecil yang menyetorkan dagangannya ke tiga kantin sekolah. Tabel banyaknya makanan yang disetorkan setiap harinya sebagai berikut. Kacang Keripik Permen Kantin A | 10 | 10 | 5 | Kantin B | 20 | 15 | 8 | Kantin C | 15 | 20 | 10 | (Dalam satuan bungkus) Harga sebungkus kacang, sebungkus keripik, dan sebungkus permen berturut-turut adalah Rp 2.000,00; Rp 3.000,00; dan Rp 1.000,00. Pertanyaan: a. Nyatakan banyaknya makanan yang disetorkan setiap harinya dengan matriks b. Nyatakan harga makanan dalam bentuk matriks c. Hitung pemasukan Bu Ani dari setiap kantin dengan cara perkalian matriks d. Hitunglah pemasukan harian Bu Ani dari setiap kantin serta total pemasukan harian dengan penyajian bentuk matriks.

Pembahasan:



25. Lisa dan muri bekerja pada pabrik tas. Lisa dapar menyelesaikan 3 buah setiap jam dan muri dapat menyelesaikan 4 tas setiap jam jumlah jam kerja lisa dan muri adalah 16 jam sehari dengan jumlah tas yang dibuat oleh keduanya adalah 55 tas. Jika jam kerja keduanya berbeda, lisa bekerja selama x jam dan muri bekerja selama y jam, maka model matematika penyelesaian masalah tersebut menggunakan determinan dan invers matriks adalah
Pembahasan:

x + y = 16

3x + 4y = 55

Jika ditulis dalam bentuk matriks :






Jadi, Lisa bekerja selama 9 jam sedangkan Muri bekerja selama

7 jam.

26. Bayangan titik A (-1, 4) oleh refleksi terhadap garis y= -x

Pencerminan terhadap garis y = -x

Pembahasan :

A(a, b) → gr y = -x → A'(-b, -a)

A(-1, 4) → gr y = -x → A'(-4, -(-1)) = (-4, 1)

27. Persamaan bayangan kurva y = 3x² + 2x - 1 oleh pencerminan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu Y adalah....

Pembahasan :

R sb x dilanjutkan R sb y

x= - x'

y = - y'

y = 3x² +2x - 1

(-y) = 3(-x)² + 2(-x) - 1

-y = 3x² - 2x - 1

y = - 3x² + 2x + 1

28. Pembahasan:

T1=[0110]${\mathrm{T}}_1=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$

$T_2=\left[\begin{array}{cc}cos{90}^{\circ }& -sin{90}^{\circ }\\ sin{90}^{\circ }& cos{90}^{\circ }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$

$T=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

Bayangan titik (x, y) oleh transformasi T :
$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-x\\ y\end{array}\right]$

Dari persamaan matriks diatas, diperoleh :
x' = -x  ↔  x = -x'
y' = y  ↔  y = y'

Substitusi x dan y ke persamaan kurva :
3x + 5y − 2 = 0
⇒  3(-x') + 5(y') − 2 = 0
⇔  -3x' + 5y' − 2 = 0
⇔  3x' − 5y' + 2 = 0

Jadi, persamaan bayangan kurva adalah :
3x − 5y + 2 = 0

29. Step-1 pencerminan garis x = k

Untuk x = 2

(x' , y') = (2(2) - x, y)

(x' , y') = (4 - x, y) akan disubtitusi ke Step-2

Step-2 translasi (- 3, 4)

Translasi (a, b) dengan a = -3 dan b = 4.

(x", y") = (x' + (- 3), y' + 4)

(x", y") = (4 - x + (- 3), y + 4)

(x", y") = (1 - x, y + 4)

Sehingga, x" = 1 - x dan y" = y + 4

Setelah diatur dengan pindah ruas menjadi

Substitusikan ke bentuk awal x²+ y² = 4

⇔ (1 - x")² + (y" - 4)² = 4

Selanjutnya tanda aksen dapat dihilangkan

⇔ (1 - x)² + (y - 4)² = 4

⇔ x² - 2x + 1 + y² - 8y + 16 = 4

⇔ x² + y² - 2x - 8y + 1 + 16 - 4 = 0

Kesimpulan

Dari langkah-langkah pengerjaan di atas, diperoleh persamaan bayangan lingkaran  

30. A(3,-2)

dipetakan oleh T(1 -2)

x' = x + 1 = 3 + 1 = 4

y' = y + (-2) = -2 + (-2) = -4

Bayangan A = A' = (4,-4)

lanjut rotasi [O , 90°]

x" = -y' = -(-4) = 4

y" = x' = 4

Bayangan akhir = A" = (4,4)

31. Pembahasan :




32. Pembahasan :

Koordinat (x, y) dicerminkan terhadap

sumbu X dilanjutkan dengan dilatasi

pusat O dan faktor skala 3, maka





Diperoleh





Substitusi persamaan (1) dan (2) ke persamaan kuadrat

Oleh karena itu, bayangan kurva y = x2 +

3x + 3 jika dicerminkan terhadap sumbu

X dilanjutkan dengan dilatasi pusat O dan

faktor skala 3 adalah

x² + 9x + 3y + 27 = 0

33. Pembahasan :

34. Pembahasan :

35. Pembahasan :






36. Pembahasan :
Diket :
Bulan ke-1 = 50 rb
Bulan ke-2 = 55 rb
Bulan ke-3 = 60 rb
...
Dit :

Bulan ke-24 (2 tahun) = ____?
Jumlah uang tabungan sampai 2 tahun, S24 = ___?

Jawab :
Deret aritmatika
Dengan :
U1 = a = 50 rb
Beda, b = 5 rb
U24 = ___?

Un = a + b(n - 1)

U24 = 50 rb + 5 rb(24 - 1)

U24 = 50 rb + 5 rb(23)

U24 = 50 rb + 115 rb

U24 = 165 rb

Jadi besar tabungan akhir saat 2 tahun adalah
Sn = n/2.(a + Un)

S24 = 24/2. (a + U24)
S24 = 12. (50 rb + 165 rb)
S24 = 12. (215 rb)
S24 = 2580 rb

Jadi uang akhir tabungannya sebesar
Rp. 2.580.000, 00

37. Pembahasan :
Diketahui :
Harga beli (a) = Rp80.000.000
Nilai jual (r) = 3/4

Ditanya : nilai jual setelah 3 tahun (U₄) = . . . ?

Jawab :

Nilai jual setelah 3 tahun adalah U₄ karena kita gunakan U₁ = 0 tahun.

Sehingga, nilai jual setelah dipakai 3 tahun

Kesimpulan : Jadi, harga jual mobil tersebut setelah dipakai 3 tahun adalah Rp33.750.000,00.

38. Pembahasan :

ar³ = 48
ar³ = 48
6r³=48
r³ = 48/6
r³=8
r = ∛8=2

39. Pembahasan :


a + 2b + a + 8b + a + 10b = 75
3a + 20b = 75

suku tengah adalah 22 atau a + 21b = 68 kali 3

3a + 20b = 75
3a + 63b = 204 _
        43b = 129
b = 3
a + 21b = 68
a + 21 . 3 = 68
a = 68 - 63
a = 5

u43 = a + 42b
= 5 + 42 . 3
= 5 + 126
= 131

40. Pembahasan :

Diket :

-. modal awal Rp.5.000.000 (Nt)
-. bunga majemuk 5% (i)
-. jangka waktu 4th (n)
Dit : Nilai akhir modal setelah 4th (Na)
Jawab :
Na = Nt (1 + i)pangkat n
Na = 5.000.000 (1 +(5/100))pangkat 4
Na = 5.000.000 (1 + 0.05)pangkat 4
Na = 5.000.000 (1.05)pangkat 4
Na = 5.000.000 x 1.2155
Na = 6.077.531,25
jadi nilai akhir modal setelah 4th adalah Rp.6.077.531,25