PERTUMBUHAN, BUNGA TUNGGAL, BUNGA MAJEMUK, BUNGA ANUITAS, PELURUH DAN BEBERAPA CONTOH SOAL

Pertumbuhan

Pertumbuhan merupakan kenaikan atau pertambahan nilai suatu besaran terhadap besaran sebelumnya. Peristiwa yang termasuk dalam pertumbuhan adalah pertambahan penduduk dan perhitungan bunga majemuk di bank.

Jika jumlah awal adalah $J_0$ dan rasio adalah r per tahun, maka pada akhir tahun ke-n, jumlah akhirnya menjadi $J_n$ :

$J_n = J_0(1+r)^n$

Contoh soal :

1. Jumlah penduduk 10.000 jiwa dengan pertumbuhan penduduk 5% per tahun, maka pada akhir tahun ke-4, jumlahnya

$J_n = 10.000 (1+0.05)^4 = 12.155\ jiwa$

2. Pada tahun 2010, jumlah penduduk Kabupaten A adalah 278.741 jiwa. Berapakah perkiraan jumlah penduduk Kabupaten A pada tahun 2020, jika diketahui laju pertumbuhan penduduk geometriknya adalah 3,03 persen.

Diketahui:
Po = 278.741
t = 2020 – 2010 = 10
r = 3,03 persen atau 0,0303

Dengan menggunakan rumus di atas, bisa kita perkirakan jumlah penduduk pada tahun 2020 yaitu sebagai berikut.
Pt = 278.741 (1 + 0,0303)10
Pt = 375.697

Sehingga perkiraan jumlah penduduk Kabupaten A pada tahun 2020 adalah 375.697 jiwa.

Bunga Tunggal

Bunga tunggal adalah bunga yang diberikan berdasarkan perhitungan modal awal, sehingga bunga hanya memiliki satu variasi saja (tetap) dari awal periode sampai akhir periode. Contohnya saat menabung di bank, kita akan mendapatkan bunga yang tetap tiap-tiap periode.

Modal adalah jumlah dari yang dibungakan, modal awal merupakan modal yang dikeluarkan pada awal waktu usaha dan sebelum dibungakan. Modal akhir adalah hasil dari modal yang dibungakan.Sedangkan suku bunga dinyatakan dalam persentase tiap satuan waktu.

Jika modal awal sebesar $M_0$ mendapat bunga tunggal sebesar b (dalam persentase) per bulan, maka setelah n bulan besar modalnya $M_n$ menjadi:

$M_n = M_0(1+n \cdot b)$

Contoh soal :

1. Diketahui modal pinjaman Rp1.000.000 dengan bunga sebesar $2 \%$ per bulan, maka setelah 5 bulan modalnya adalah ….

$M_n = 1.000.000 (1 + 5 \times \frac{2}{100}) = Rp1.100.000$

Jika modal awal sebesar $M_0$ , dan diketahui jumlah bunga tunggalnya B, maka besar persentase bunga tunggalnya b adalah

$b = \frac{B}{M_0} \times 100 \%$

Contoh lain: Diketahui bunga tunggal sebesar Rp50.000 untuk modal pinjaman Rp1.000.000, maka presentasenya adalah

$b = \frac{50000}{1000000}\times 100 \% = 5 \%$

2. Susi meminjam uang di bank sejumlah Rp 1.500.000,00. Dalam jangka waktu satu tahun, ia harus mengembalikan Rp 1.620.000,00. Uang Rp 1.500.000,00 disebut sebagai modal dan uang kelebihan Rp 120.000,00 disebut bunga atau jasa atas pinjaman modal. Maka suku bunga pinjaman Susi adalah…

Bunga Majemuk

Bunga majemuk adalah bunga yang diberikan berdasarkan modal awal dan akumulasi bunga pada periode sebelumnya.Bunga majemuk memiliki banyak variasi dan selalu berubah (tidak tetap) pada tiap-tiap periode. Contohnya saat menjual sebuah kendaraan, harga kendaraan yang dijualakan berubah setiap periode dan perubahannya bervariasi.

Sumber: thecalculatorsite.com

Jika modal awal sebesar $M_0$ mendapat bunga majemuk sebesar b (dalam persentase) perbulan, maka setelah n bulan besar modalnya $M_n$ menjadi:

$M_n = M_0(1+b)^n$

Contoh Soal:

1. Bila diketahui modal pinjaman yang berjumlah Rp1.000.000 memilki bunga majemuk sebesar 2% per bulan, maka setelah 5 bulan, berapakah modal akhir nya?

Jawab:

M0 = Rp1.000.000 , b = 2% = 0,02, n = 5 bulan

Mn = M0 (1 + b)n

Mn = 1.000.000 (1 + 0,02)5

Mn = Rp1.104.080, 80

2. Modal sebesar Rp10.000.000,00 dipinjamkan dengan bunga majemuk 2% per tahun. Pada permulaan tahun ketiga, modal itu menjadi?

Jawab:
$M_n = M_0(1+b)^n$

$M_0 = 10.000.000(1 + 0,02)^2$ (n = 2, karena awal tahun ke-3 sama dengan akhir tahun ke-2)

$M_n = 10.000.000(1,02)^2$

$M_n = 10.404.000,00$

Bunga Anutias

Anuitas adalah rangkaian pembayaran atau penerimaan yang sama jumlahnya dan harus dibayarkan atau yang harus diterima pada tiap akhir periode atas sebuah pinjaman atau kredit. Jika suatu pinjaman akan dikembalikan secara anuitas, maka ada tiga komponen yang menjadi dasar perhitungan yaitu:
- Besar pinjaman
- Besar bunga
- Jangka waktu dan jumlah periode pembayaran
Anuitas yang diberikan secara tetap pada setiap akhir periode mempunyai dua fungsi yaitu membayar bunga atas hutang dan mengangsur hutang itu sendiri. Sehingga konsepnya :

$Anuitas = Bunga\ atas\ hutang\ + Angsuran\ hutang$

Jika utang sebesar $M_o$ mendapat bunga sebesar b per bulan dan anuitas sebesar A, maka dapat ditentukan :

Besar bunga pada akhir periode ke-n
$B_n = (1+b)^{n-1}(b \cdot M - A) + A$

Besar angsuran pada akhir periode ke-n
$A_n = (1+b)^{n-1}(A - bM)$

Sisa hutang pada akhir periode ke-n
$M_n = (1+b)^n (M - \frac{A}{b}) + \frac{A}{b}$

Contoh Soal :

1. Sebuah pinjaman sebesar Rp20.000.000,00 akan dilunasi secara anuitas tahunan sebesar Rp4.000.000,00. Jika suku bunga 5% per tahun, besar angsuran, bunga, dan sisa hutang tahun ketiga adalah?
Angsuran

$A_n = (1+b)^{n-1}(A - bM)$

$A_n = (1+0,05)^{3-1}(4.000.000 - (0,05)20.000.000)$

$A_n = (1,05)^2(4.000.000 - 1.000.000)$

$A_n = (1,1025)(3.000.000)$

$A_n = 3.307.500,00$

Bunga

$B_n = (1+b)^{n-1}(b.M - A) + A$

$B_n = (1+0.05)^{3-1}(0.05 \times 20.000.000 - 4.000.000) + 4.000.000$

$B_n = (1,05)^2(-3.000.000) + 4.000.000 = -3.307.500 + 4.000.000$

$B_n = 692.500,00$

Sisa hutang

$M_n = (1+b)^n(M - \frac{A}{b}) + \frac{A}{b}$

$M_n = (1 + 0.05)^3(20.000.000 - \frac{4.000.000}{0.05})+ \frac{4.000.000}{0.05}$

$M_n = (1.157625)(-60.000.000) + 80.000.000$

$M_n = 10.542.500,00$

2. Sebuah pinjaman sebesar Rp850.000.000,00 yang harus dilunasi dengan 6 anuitas jika dasar bunga 4% per bulan dan pembayaran pertama dilakukan setelah sebulan. Sisa hutang pada akhir bulan kelima adalah?

$A = \frac{b(M_0)(1+b)^n}{(1+b)^n-1}$

$A = \frac{(0,04)(850.000.000)(1+0,04)^6}{(1+0,04)^6-1}$

$A = \frac{(0,04)(850.000.000)(1,04)^6}{(1,04)^6-1}$

$A = \frac{43.020.846,63}{0,2265319}$

$A = 162.147.628,43$

Sisa hutang pada akhir periode ke-5 adalah

$M_n = (1+b)^n(M - \frac{A}{b} + \frac{A}{b})$

$M_n = (1 + 0,04)^5(850.000.000 - \frac{162.147.628,43}{0,04}) + \frac{162.147.628,43}{0,04}$

$M_n = (1,04)^5(850.000.000 - \frac{162.147.628,43}{0,04}) + \frac{162.147.628,43}{0,04}$

$M_n = 155.911.109,00$

Peluruhan

Peluruhan (penyusutan) adalah pengurangan nilai dari harta tetap terhadap nilai buku atau nilai beli awalnya. Peluruhan (penyusutan) dilakukan secara berkala dalam rangka pembebanan biaya pada pendapatan, baik atas penggunaan harta tersebut maupun karena sudah tidak memadai lagi. Peristiwa yang termasuk dalam peluruhan (penyusutan) diantaranya adalah peluruhan zat radioaktif dan penyusutan harga suatu barang.

Ada dua istilah dalam peluruhan (penyusutan) yaitu, nilai buku dan nilai beli. Nilai beli merupakan harga awal ketika melakukan pembelian barang. Sedangkan nilai buku adalah nilai setelah terjadi penyusutan dimana nilainya tiap periode akan semakin kecil.

Jika harga sebuah barang pada saat dibeli adalah $M_0$ dan mengalami penyusutan tiap tahunnya sebesar p (dalam persen) dari harga belinya, maka nilai barang pada akhir tahun ke-n adalah :

$M_n = M_0(1 - np)$

Besar nilai (harga) penyusutan tiap tahun adalah:

$P = M_0.p$

$P = 100.000.000 \times 0.1 = 10.000.000$

Jika suatu barang mengalami penyusutan tiap tahunnya sebesar p (dalam persen) dari nilai bukunya sendiri, maka pada akhir tahun ke-n, nilai barangnya adalah :

$M_n = M_0(1 - p)^n$

Besar nilai (harga) penyusutan pada tahun ke-n adalah

$P_n = M_{n-1}(p)(1 - p)^{(n-1)}$

Contoh Soal:

1. Kadar radioaktif mineral meluruh secara eksponensial dengan laju peluruhan 8% setiap jam. Berapa persenkah kadar radioaktif mineral tersebut setelah 3 jam?

Jawab:

Jika kadar radioaktif mula-mula M, maka kadar radioaktif mineral setelah 3 jam maka:

M3 = M (1 + i )3, dengan i = 8% = 0,08
= M (1 - 0,08)3
= M (0,92)3
= M (0,778688)

Jadi setelah 3 jam kadar radioaktif mineral tinggal (0,778688) x 100% = 77,8688%

2. Sebuah mobil dengan harga Rp 30.000.000,00 tiap-tiap tahun ditaksir harganya menyusut 10%. Berapa harga mobil setelah 4 tahun?

Diketahui:

harga mobil (M)= Rp 30.000.000,00,
penyusutan (i) = 10 = 0,1,
Waktu (n) = 4 tahun
Harga mobil setelah 4 tahun dapat dihitung sebagai berikut:

Mn= M (1 + i )n
M4 = 30.000.000 (1 - 0,1)4
= 30.000.000(0,9)4
= 30.000.000(0,6561)
= 19.683.000

Jadi harga mobil setelah 4 tahun adalah Rp 19.683.000,002.

SUMBER:

https://www.studiobelajar.com/bunga-tunggal-majemuk-anuitas/

https://www.edura.id/blog/matematika/pengertian-bunga/

Cari Blog Ini

MATEMATIKA SMA