BARISAN DAN DERET GEOMETRI DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

Barisan dan deret geometri adalah salah satu materi yang dipelajari dalam Matematika SMA. Barisan geometri adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui perkalian dengan suatu bilangan. Perbandingan atau rasio antara nilai suku-suku yang berdekatan selalu sama yaitu r. Nilai suku pertama dilambangkan dengan a.

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan geometri dapat dihitung dengan rumus berikut.

$U_{n}=ar^{n-1}$

Untuk mencari nilai rasio(r) :

r = U_nU_(n-1)

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari barisan geometri.

Penjumlahan dari suku-suku pertama sampai suku ke-n barisan geometri dapat dihitung dengan rumus berikut.

$S_{n}=a\frac{(1-r^{n})}{(1-r)}$

dengan syarat r < 1

atau

$S_{n}=a\frac{(r^{n}-1)}{(r-1)}$

dengan syarat r > 1

Contoh Soal 1:
Selembar kertas dipotong menjadi dua bagian. Setiap bagian dipotong menjadi dua dan seterusnya. Jumlah potongan kertas setelah potongan kelima sama dengan …

Pembahasan:
Diketahui: a = 1
r = 2

Ditanya: $U_{5}=?$
Jawab:
$U_{n}=ar^{n}$
$U_{5}=1.2^{5}$
=32

Jadi, jumlah potongan kertas setelah potongan kelima adalah 32

Contoh Soal 2:
Pada sebuah deret geometri diketahui bahwa suku pertamanya adalah 3 dan suku ke-9 adalah 768. Suku ke-7 deret tersebut adalah …

Pembahasan :
Diketahui: a = 3
$U_{9}=768$

Ditanya: $U_{7}=?$
Jawab:
Sebelum kita mencari nilai dari $U_{7}$ , kita akan mencari nilai r terlebih dahulu.

Ingat kembali bahwa $U_{n}=ar^{n-1}$ sehingga $U_{9}$ dapat ditulis menjadi

$U_{9}=768$
$3.r^{9-1}=768$
$r^{8}=\frac{768}{3}$
$r^{8}=256$
$r=\sqrt[8]{256}$
$r=2$

𝑆ehingga,
$U_{7}=3.2^{6}$

$=3.64$

$=192$

Jadi, suku ke-7 deret tersebut adalah 192.

Contoh Soal 3:
Diketahui suku ke-5 dari barisan geometri adalah 243, hasil bagi suku ke-9 dengan suku ke-6 adalah 27. Suku ke-2 dari barisan tersebut adalah …

Pembahasan:
Diketahui $U_{5}=243$
$\frac{U_{9}}{U_{6}}=27$

Ditanya $U_{2}=?$
Jawab:
Sebelum kita mencari nilai dari $U_{2}$ , kita akan mencari nilai a dan r terlebih dahulu.

Ingat kembali $U_{n}=ar^{n-1}$ maka

$\frac{a.r^{8}}{a.r^{5}}=27$

$r^{3}=27$
$r=\sqrt[3]{27}$
$r=3$

Substitusikan r = 3 ke persamaan $U_{5}=243$

$U_{5}=243$
$a.3^{4}=243$
$a=\frac{243}{81}$
$a=3$

sehingga

$U_{2}=a.r$
$=3.3$
= 9

Jadi, suku ke-2 dari barisan tersebut adalah 9.

Contoh Soal 4:
Jumlah 6 suku pertama deret geometri 2 + 6 + 18 + … adalah …

Pembahasan:
Diketahui: a = 2
r = 3

ditanyakan $U_{6}=?$
Jawab:

$S_{n}=a\frac{(r^{n}-1)}{(r-1)}$
$S_{6}=2\frac{(3^{6}-1)}{(3-1)}$
$=2\frac{(729-1)}{2}$
$=728$

Jadi, jumlah 6 suku pertama deret geometri tersebut adalah 728.

Contoh Soal 5:

Ada Sebuah barisan geometri yang untuk mencari suku Un.cari dan hitunglah suku Un yang ke 10 dari barisan 1/8, 1/4, 1/2,…. tersebut

Pembahasan :
Diketahui :
= r = 1/4 : 1/8 = 1/4 x 8 = 2 (rasionya)
a = 1/8

Jawab :
Un = arn – 1
Un = 1/8 . 2 (10 – 1) = 1/8 . 29 = 2 – 3 . 29 = 26 = 64

Jadi, suku Un yang ke 10 tersebut adalah = 64

Contoh Soal 6:

Ada Sebuah barisan geometri yang untuk mencari suku Un.cari dan hitunglah suku Un yang ke 7 dari barisan 3, 6, 2,…. tersebut !

Pembahasan:

Diketahui :

a = 3

r = 2

Un = ar(n-1)
Un = 3.2(7-1)
U7 = 3.2(7-1)
U7 = 192

Jadi, suku Un yang ke 17 tersebut adalah = 192

Contoh Soal 7:

Ada Sebuah barisan geometri yang untuk mencari suku Un.cari dan hitunglah suku Un yang ke 7 dari barisan 44, 24, 12,…. tersebut !

Pembahasan:

Diketahui :

a = 44

r = 1/2

Jawab :

Un = arn-1
Un = 44.(1/2)n-1
Un = 44.(1/2)n-1
Un = 44.(2-1)1-n
Un = 3.8. (2)1-n
U7 = 3.23 (2)1-n
U7 = 3.24-n

Jadi, suku Un yang ke 7 tersebut adalah = 3.24-n

Contoh Soal 8:

Jika jumlah 2 suku pertama deret geometri adalah 6 dan jumlah 4 suku pertama adalah 54. Memiliki rasio positif. Maka tentukan jumlah 6 suku pertama deret tersebut

Pembahasan:
Diketahui bahwa:

$S_2 = 6$

$6 = a \frac{(1 - r^2)}{(1 -r)} = a \frac{(1 -r)(1 + r)}{(1 -r)} = a(1 + r)$

dan

$S_4 = 54$

$54 = a \frac{(1 - r^4)}{(1 - r)} = a \frac{(1 - r^2)(1 + r^2)}{(1 - r)} = a \frac{(1 - r)(1 + r)(1 + r^2)}{(1 - r)}$

$54 = a(1 + r)(1 + r^2)$

Jika kedua persamaan disubstitusikan :

$54 = a(1 + r)(1 + r^2)$

$54 = 6(1 + r^2)$

$9 = (1 + r^2)$

$r = \pm \sqrt{8} = \pm2\sqrt{2}$

Dan

$6 = a(1 + r) = a(1 + 2\sqrt{2})$

$a = \frac{6}{(1 + 2\sqrt{2})}$

Sehingga :
$S_n = a \frac{(1 - r^n)}{(1 - r)} = (\frac{6}{1 + 2\sqrt{2}}) \frac{(1 - (2\sqrt{2})^6)}{(1 - 2\sqrt{2})}$

$S_n = \frac{6(1 - 8^3)}{1 - 8} = \frac{3066}{7}$

Contoh Soal 9:

Dalam sebuah deret geometri diketahui U3 = 81 dan U6 = 3. Maka hitunglah deret tersebut

Pembahasan:

U3 = 81, maka U1 × r² = 81

U6 = 3, maka U1 × r5 = 3

U6/U3 = ( U1 × r5 )/( U1 × r² ) = 3/81

r³ = 1/27

r = akar pangkat 3 dari (1/27)

r = 1/3

U1 × r² = 81

U1 × (1/3)² = 81

U1 × 1/9 = 81

U1 = 81 : 1/9

U1 = 81 × 9

U1 = 729

Contoh Soal 10:

Suku pertama dari barisan geometri adalah

\frac{5}{2}

dan suku ke-

4

adalah

20

. Besar suku ke-

6

dari barisan tersebut adalah

Pembahasan:

Diketahui:

\begin{aligned} U_{1} & = a = \frac{5}{2} \\ U_{4} & = 20 \end{aligned}

Langkah pertama adalah mencari rasio barisan geometri ini.
Perhatikan bahwa,

\begin{aligned} U_{4} & = 20 \\ a r^{3} & = 20 \\ \frac{5}{2} r^{3} & = 20 \\ r^{3} & = 20 \times \frac{2}{5} \\ r^{3} & = 8 \\ r & = \sqrt[3]{8} = 2 \end{aligned}

Selanjutnya, carilah suku ke-

6

\begin{aligned} U_{6} & = a r^{5} \\ = \frac{5}{2} \times 2^{5} \\ = 80 \end{aligned}

Jadi, suku ke-

6

barisan tersebut adalah

80

SUMBER:

https://www.zenius.net/blog/23355/contoh-soal-barisan-dan-deret-geometri

https://bfl-definisi.blogspot.com/2017/09/contoh-soal-barisan-dan-deret-geometri.html

https://rumus.co.id/geometri/

https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-barisan-dan-deret-geometri/

Cari Blog Ini

MATEMATIKA SMA

BARISAN DAN DERET GEOMETRI DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

TRIGONOMETRI

PEMBAHASAN SOAL PTS MATEMATIKA KELAS 11

SOAL TRANSFORMASI DAN PENYELESAIANNYA

TRIGONOMETRI