SOAL PENGUNAAN MATRIKS DAN PEMBAHASANNYA

KESAMAAN MATRIK

1. Tentukanlah nilai x dan z yang memenuhi persamaan matriks berikut ini :

Pembahasan :
-1 + 6 = 2 + 2x
5 = 2 + 2x
3 = 2x
x = 3/2

3 + 2 = 3 + z + 1
5 = 4 + z
z = 1

2. Diketahui persamaan matriks sebagai berikut :

Tentukanlah nilai a, b, c, dan d.

Pembahasan :
-a + 3 = 10 ---> a = -7

c - 2 + 10 = -6
c = - 6 - 8
c = -14

b + 4 + b + c = -6
2b + c = -10
2b - 14 = -10
2b = 4
b = 2

2d + d = b - 2
3d = 2 - 2
d = 0

3. Berdasarkan persamaan matriks di bawah ini, tentukanlah nilai a, b, c, dan d.

Pembahasan :
2d + d = -2 + (-4)
3d = -6
d = -2

a + 2d + 3 = 10 + 2
a + 2(-2) = 12 - 3
a - 4 = 9
a = 9 + 4
a = 13

b + b + 3c = 16 + 8
2b + 3c = 24

c - 2 + 2 + b = -6 + 6
c + b = 0 ---> c = -b ---> substitusi ke persamaan 2b + 3c = 24
2b + 3(-b) = 24
2b - 3b = 24
-b = 24
b = -24 maka c = 24

Jadi a = 13. b = -24, c = 24, dan d = -2

4. Jika p, q, r, dan s memenuhi persamaan matriks

Pembahasan :
Dari soal, diperoleh 4 persamaan yaitu :
1. p - 2s = 1
2. 2q - r = 1
3. 2r - q = -1
4. s - 2p = -1

Dari persamaan no 1 dan 4 diperoleh :
p - 2s = 1 ---> p = 1 + 2s ---> substitusikan ke persamaan 4
s - 2p = -1
s - 2(1 + 2s) = -1
s - 2 - 4s = -1
-3s = 1
s = -1/3

selanjutnya,
p - 2(-1/3) = 1
p + 2/3 = 1
p = 1 - 2/3 = 1/3

Dari persamaan no 2 dan 3 diperoleh :
2q - r = 1 ---> -r = 1 - 2q ---> r = 2q + 1 ---> substitusi ke persamaan 3
2r - q = -1
2(2q + 1) - q = -1
4q + 2 - q = -1
3q = -3
q = -1

selanjutnya,
2(-1) - r = 1
-r = 1 + 2 = 3
r = -3

Jadi p = 1/3, q = -1, r = -3 , dan s = -1/3

DETERMINAN MATRIK ORDO 2X2

5. Tentukanlah determinan matriks berikut!

Pembahasan:

6. Sebuah matriks P ordo 2 x 2 memenuhi persamaan seperti di bawah ini, tentukanlah matriks P.

Pembahasan :
Misalkan elemen-elemen matriks P adalah a, b, c, dan d

7 - 3a = -5 ---> -3a = -12 ---> a = 4
1 - 3b = 10 ---> -3b = 9 ---> b = -3
-4 - 3c = 8 ---> -3c = 12 ---> c = -4
3 - 3d = 9 ---> -3d = 6 ---> d = -2

Jadi matriks P adalah :

DETERMINAN MATRIK ORDO 3X3

7. Hitunglah berapa nilai determinan dari matriks ordo 3 x 3 berikut ini :

Pembahasan:

det( A ) = ( 2 . 4 . 1 ) + ( 3 . 3 . 7 ) + ( 4 . 5 . 0 ) – ( 4 . 4 . 7 ) – ( 2 . 3 . 0 ) – ( 3 . 5 . 1 )
             = ( 8 ) + ( 63 ) + ( 0 ) – ( 112 ) – ( 0 ) – 15
             = – 56

Jadi, nilai determinan dari matriks ordo 3 x 3 di atas ialah = – 56.

8. Hitunglah berapa nilai determinan dari matriks ordo 3 x 3 berikut ini :

Pembahasan:

det( A ) = ( 1 . 1 . 2 ) + ( 2 . 4 . 3 ) + ( 3 . 2 . 1 ) – ( 3 . 1 . 3 ) – ( 1 . 4 . 1 ) – ( 2 . 2 . 2 )
             = ( 2 ) + ( 24 ) + ( 6 ) – ( 9 ) – ( 4 ) – ( 8 )
             = 11

Jadi, nilai determinan dari matriks ordo 3 x 3 di atas ialah = 11.

KOFAKTOR MATRIK BERORDO 2X2

9. Tentukan semua kofaktor dari matriks

A=[−143−5]$A=\left[\begin{array}{cc}-1& 3\\ 4& -5\end{array}\right]$!

Karena minornya telah dicari sebelumnya yaitu
M11$M_{11}$ = -5
M12$M_{12}$ = 4
M21$M_{21}$ = 3
M22$M_{22}$ = -1

Jadi, kofaktor-kofaktor dari matriks A adalah
Cij = (-1)i+j${}^{i+j}$ Mij
C11=(−1)1+1(−5)=−5$C_{11}=(-1{)}^{1+1}(-5)=-5$
C12=(−1)1+2(4)=−4$C_{12}=(-1{)}^{1+2}(4)=-4$
C21=(−1)2+1(3)=−3$C_{21}=(-1{)}^{2+1}(3)=-3$
C22=(−1)2+2(−1)=−1

 

KOFAKTOR MATRIK BERORDO 3X3

10. Tentukan semua kofaktor matriks

B=⎡⎣⎢26114−2−353⎤⎦⎥$B=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& -3\\ 6& 4& 5\\ 1& -2& 3\end{array}\right]$!

Pembahasan:

Minor-minor matriks B (sudah dicari sebelumnya)
M11=22$M_{11}=22$
M12=13$M_{12}=13$
M13=−16$M_{13}=-16$
M21=−3$M_{21}=-3$
M22=9$M_{22}=9$
M23=−5$M_{23}=-5$
M31=17$M_{31}=17$
M32=28$M_{32}=28$

M33=2$M_{33}=2$

Kofaktor-kofaktor matriks B adalah

C11=(−1)1+1(22)=22$C_{11}=(-1{)}^{1+1}(22)=22$
C12=(−1)1+2(13)=−13$C_{12}=(-1{)}^{1+2}(13)=-13$
C13=(−1)1+3(−16)=−16$C_{13}=(-1{)}^{1+3}(-16)=-16$
C21=(−1)2+1(−3)=3$C_{21}=(-1{)}^{2+1}(-3)=3$
C22=(−1)2+2(9)=9$C_{22}=(-1{)}^{2+2}(9)=9$
C23=(−1)2+3(−5)=5$C_{23}=(-1{)}^{2+3}(-5)=5$
C31=(−1)3+1(17)=17$C_{31}=(-1{)}^{3+1}(17)=17$
C32=(−1)3+2(28)=−28$C_{32}=(-1{)}^{3+2}(28)=-28$
C33=(−1)3+3(2)=2

11. Tentukan kofaktor dari minor matriks berikut ini :

Pembahasan :
KE_ab = (-1)^a+b x NE_ab
KE₁₁ = (-1)¹⁺¹ x NE₁₁ = (-1)² x (-3) = 1 x -3 = -3
KE₁₂ = (-1)¹⁺² x NE₁₂ = (-1)³ x (-6) = -1 x (-6) = 6
KE₁₃ = (-1)¹⁺³ x NE₁₂ = (-1)⁴ x (-3) = 1 x (-3) = -3
KE₂₁ = (-1)²⁺¹ x NE₂₁ = (-1)³ x (-6) = -1 x (-6) = 6
KE₂₂ = (-1)²⁺² x NE₂₂ = (-1)⁴ x (-12) = 1 x (-12) = -12
KE₂₃ = (-1)²⁺³ x NE₂₃ = (-1)⁵ x (-6) = -1 x (-6) = 6
KE₃₁ = (-1)³⁺¹ x NE₃₁ = (-1)⁴ x (-3) = 1 x (-3) = -3
KE₃₂ = (-1)³⁺² x NE₃₂ = (-1)⁵ x (-6) = -1 x (-6) = 6
KE₃₃ = (-1)³⁺³ x NE₃₃ = (-1)⁶ x (-3) = 1 x (-3) = -3

Maka kofaktornya adalah :

INVERS MATRIK BERORDO 2X2

12. Tentukanlah invers dari matriks berikut.

Pembahasan:

13. Menentukan matriks invers dari!

Pembahasan:

Untuk menghitung kebalikan dari matriks, metode cepat digunakan. Sebelum menggunakan rumus matriks terbalik di atas. Pertama-tama kita harus menemukan nilai adjoin dahulu.

Untuk menemukan matriks invers 2×2 yang berdekatan, kita hanya perlu menukar atau memindahkan elemen yang posisinya ada di baris pertama kolom pertama dengan elemen-elemen di baris kedua kolom kedua.

Berikutnya, baris kedua dari kolom pertama dan baris pertama dari kolom kedua dikalikan dengan -1. Hasilnya adalah sebagai berikut.

Selanjutnya, cari determinan matriks
det = (2 × 6) – (4 × 1)
= 12 – 4
= 8

Setelah nilai adjoin dan determinan matriks diketahui. Kemudian masukkan rumus matriks di atas. Hasilnya adalah :

INVERS MATRIK BERORDO 3X3

14. Matriks A dikenal sebagai berikut :

Menentukan kebalikan dari matriks di atas A!

Pembahasan :

15. Tentukan invers matriks berikut dengan menggunakan adjoin!

Penyelesaian:

 

Oke, berdasarkan rumus di atas, kita membutuhkan determinan dan adjoin matriks A. Pertama, kita cari terlebih dahulu determinan matriks A menggunakan metode yang sudah dijelaskan sebelumnya. Bisa dengan cara aturan Sarrus ataupun metode minor-kofaktor. Misalnya, kita akan menggunakan metode Sarrus, sehingga:

Kemudian, kita tentukan adjoin matriks dengan mencari kofaktor matriks A tersebut.

Oleh karena itu,

Jadi,

SUMBER:

http://belajarmaterimatematika.blogspot.com/2014/11/soal-dan-pembahasan-kesamaan-matriks.html

https://blog.ruangguru.com/cara-mencari-determinan-dan-invers-matriks?hs_amp=true

https://rumus.co.id/determinan-matriks/

https://www.madematika.net/2017/08/pengertian-minor-kofaktor-matriks.html

https://matematikaakuntansi.blogspot.com/2017/12/cara-menentukan-kofaktor-matriks-ordo-3x3.html

https://rumusrumus.com/invers-matriks/