MATRIK

Pengertian Matrik

Matriks secara sederhana dapat diartikan sebagai kumpulan bilangan yang disusun dalam baris dan kolom.Bilangan-bilangan yang disusun pada matriks tersebut disebut dengan elemen-elemen matriks. Contoh mudah matriks dapat kamu lihat dalam ilustrasi di bawah ini:

matriks dalam matematika

Ilustrasi di atas dapat kamu baca seperti ini: a11 dibaca baris ke-1 dan kolom ke-1; a12 dibaca baris ke-1 dan kolom ke-2; atau amn yang berarti baris ke-m dan kolom ke-n. Banyaknya baris dan kolom dalam matriks disebut dengan ordo. Urutan yang perlu diingat adalah baris kemudian kolom. Matriks dalam ilustrasi di bawah ini memiliki ordo 2x3, karena memiliki dua baris dan tiga kolom.

MACAM-MACAM MATRIK

A. Matriks Baris

Matriks baris merupakan matriks yang hanya memiliki satu baris. Biasanya matriks baris berordo 1 x n.

Contoh matriks baris seperti berikut :

disebut matriks baris 1 x 3.

disebut matriks baris 1 x 4.

B. Matriks Kolom

Matriks kolom merupakan matriks yang hanya satu kolom. Biasanya matriks kolom berordo m x 1.

Contoh matriks kolom seperti berikut :

Matriks A disebut matriks kolom 3 x 1.
Matriks B disebut matriks kolom 4 x 1.

C. Matriks Persegi atau Matriks Bujur Sangkar

Matriks persegi merupakan matriks yang memilki banyak baris & banyak kolom yang sama. Secara umum, matriks persegi berordo n x n yaitu a11, a22, ..., ann.

Contoh dari matriks persegi seperti berikut :

dengan elemen diagonal a11 dan a22.

dengan elemen diagonal a11 , a22 dan a33.

D. Matriks Nol

Matriks nol adalah matriks berordo m x n yang elemen-elemennya bernilai 0.
Contoh matriks nol seperti berikut :

E. Matriks Segitiga

Matriks segitiga adalah matriks bujur sangkar /persegi yang elemen-elemen dibawah atau diatas elemen diagonal bernilai nol. Jika yang bernilai nol adalah elemen-elemen dibawah elemen diagonal maka disebut matriks segitiga atas.
Dan sebaliknya jika yang bernilai nol adalah elemen-elemen diatas elemen diagonal maka disebut matriks segitiga bawah. Dalam hal ini, juga tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus bernilai tak nol.
Contoh Matriks Segitiga atas & Matriks Segitiga Bawah seperti berikut :

Matriks A adalah matriks segitiga atas.
Matriks B adalah matriks segitiga bawah.
Matriks C adalah matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah.

F. Matriks Diagonal

Matriks diagonal ini berasal dari matriks persegi. Matriks persegi disebut sebagai matriks diagonal apabila elemen-elemen (unsur) selain elemen diagonal utamanya ialah nol.
Contoh matriks diagonal :

$A=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} ,B=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0&0 \end{bmatrix} \\\\\\ ~~~~~C=\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0& 0 \end{bmatrix} ,D=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0& 2& 0\\ 0&0 & 3 \end{bmatrix}$

G. Matriks Skalar

Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang semua entri pada diagonal utamanya bernilai sama, tetapi tidak nol.
Contoh Matriks Skalar :

H. Matriks Identitas atau Matriks Satuan

Matriks identitas merupakan matriks diagonal yang mana seluruh elemen pada diagonal utamanya adalah 1. Matriks identitas pada umunya dinotasikan dengan I.
Contoh matriks indentitas seperti berikut :

I. Matriks Simetri

Matriks A disebut matriks simetri, jika matriks tersebut berbentuk bujur sangkar dan

Contoh matriks simetri, seperti berikut :

J. Matriks Mendatar

Matriks Mendatar adalah matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom.
Contoh Matriks Mendatar :

K. Matriks Tegak

Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.
Contoh Matriks Tegak :

L. Matriks Transpose

Matriks transpose Am x n yang dinotasikan dengan A’ merupakan matriks berordo n x m yang mana baris-barisnya ialah kolom-kolom matriks Am x n.
Contoh matriks transpose, misalkan terdapat matriks A :

Jadi jika ordo matriks A = 3x4 maka ordo matriks transpos adalah 4x3

OPERASI MATRIK

Penjumlahan Matriks

Operasi hitung matriks pada penjumlahan memiliki syarat yang harus dipenuhi agar dua buah matriks dapaT dijumlahkan. Syarat dari dua buah matriks atau lebih dapat dijumlahkan jika memiliki nilai ordo yang sama. Artinya, semua matriks yang dijumlahkan harus memiliki jumlah baris dan kolom yang sama.

Matriks dengan jumlah baris 3 dan kolom 4 hanya bisa dijumlahkan dengan matriks dengan jumlah baris 3 dan kolom 4. Matriks dengan jumlah baris 3 dan kolom 4 tidak bisa dijumlahkan dengan matriks dengan jumlah baris 4 dan kolom 3. Kesimpulannya, jumlah baris dan kolom antar dua matriks yang akan dijumlahkan harus sama.

Operasi hitung penjumlahan matriks memenuhi sifat komutatif, asosiatif, memiliki matriks identitas matriks nol, dan memiliki lawan matriks. Lawan matriks A adalah matriks

, di mana elemen-elemen matriks

merupakan lawan dari elemen-elemen matriks A. Secara ringkas, sifat operasi penjumlahan matriks dapat dilihat pada gambar di bawah.

Sifat-sifat operasi penjumlahan matriks

Selanjutnya, kita akan mempelajari cara melakukan operasi hitung penjumlahan dua buah matriks. Penjelasan akan diberikan dalam bentuk contoh soal secara umum.

Contoh cara melakukan operasi penjumlahan pada matriks:

Penjumlahan Matriks

Pengurangan Matriks

Seperti halnya operasi hitung penjumlahan matriks, syarat agar dapat mengurangkan elemen-elemen antar matriks adalah matriks harus memiliki nilai ordo yang sama. Cara melakukan operasi pengurangan pada matriks dapat dilihat seperti cara di bawah.

Pengurangan Matriks

Cara melakukan operasi pengurangan dua matriks tidak jauh berbeda dengan penjumlahan matriks. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal pengurangan matriks secara umum yang akan diberikan di bawah.

Contoh cara melakukan operasi pengurangan pada matriks:

Pengurangan Dua Matriks

Perkalian Matriks

Pembahasan operasi hitung matriks selanjutnya yang akan dibahas adalah perkalian matriks. Perkalian matriks yang akan dibahas di bawah adalah perkalian matriks dengan skalar dan perkalian matriks dengan matriks. Selengkapnya simak operasi hitung perkalian matriks di bawah.

Perkalian Matriks dengan Skalar

Cara melakukan operasi skalar pada matriks adalah dengan mengalikan semua elemen-elemen matriks dengan skalarnya. Jika k adalah suatu konstanta dan A adalah matriks, maka cara melakukan operasi perkalian skalar dapat dilihat melalui cara di bawah.

Perkalian Matriks dengan Skalar

Cara melakukan perkalian matriks dengan skalar cukup mudah dilakukan. Contoh soal cara melakukan perkalian matriks yang akan diberikan di bawah akan menambah pemahaman sobat idschool.

Contoh cara melakukan operasi perkalian skalar pada matriks:

Diketahui konstanta k = 2 dan sebuah matriks A dengan persamaan seperti di bawah.

$\textrm{A} \; = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$

Maka hasil perkalian konstanta k dengan matriks A adalah sebagai berikut.

$k\textrm{A} \; = 2 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$

$k\textrm{A} \; = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \\ 10 & 12 \\ 14 & 16 \end{bmatrix}$

Uraian selanjutnya adalah cara melakukan perkalian dua matriks.

Operasi Perkalian Dua Matriks

Seperti yang telah disinggung sebelumnya, syarat dua buah matriks dapat dikalikan jika memiliki jumlah kolom matriks pertama yang sama dengan jumlah baris matriks ke dua. Ordo matriks hasil perkalian dua matriks adalah jumlah baris pertama dikali jumlah kolom ke dua.

Matriks A memiliki jumlah kolom sebanyak m dan jumlah baris r, matriks B memiliki jumlah kolom sebanyak r dan jumlah baris m, hasil perkalian matriks A dan B adalah matriks C dengan jumlah kolom m dan jumlah baris n.

Perkalian Matriks

Sebelum mengulas cara melakukan operasi perkalian dua buah matriks, sebaiknya kita perlajari dahulu sidat-sifat operasi perkalian dua matriks. Sifat-sifat operasi perkalian matriks meliputi sifat asosiatif, distributif, dan memiliki matriks identitas I. Sifat-sifat operasi perkalian matriks dapat dilihat pada gambar di bawah.

Operasi Hitung pada Matriks dan Sifat-sifatnya

Sifat-sifat matriks di atas dapat digunakan untuk memudahkan perhitungan dalam melakukan operasi hitung matriks.

Sekarang, pembahasan kita masuk pada perkalian dua matriks. Untuk pembahasan pertama kita akan mempelajari cara melakukan perkalian matriks dengan ukuran 2

2 dan matriks dengan ukuran 2

1.

Proses cara melakukan operasi perkalian matriksdengan ukuran 2

2 dan matriks dengan ukuran 2

1 dapat disimak pada pembahasan di bawah.

Diketahui:

$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$

$B = \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix}$

Perkalian dua matriks dapat diperoleh dengan cara di bawah.

Perkalian Matriks

Selanjutnya adalah perkalian dua matriks. Kedua matriks yang akan dioperasikan sama-sama berukuran 2

2. Selengkapnya, simak pembahasan di bawah.

Diketahui:

$P = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$

$Q = \begin{bmatrix} k & l \\ m & n \end{bmatrix}$

Maka perkalian dua matriks dapat diperoleh dengan cara di bawah.

perkalian matriks

Untuk lebih jelasnya akan ditunjukkan dari contoh soal operasi perkalian dua matriks seperti yang ditunjukkan di bawah.

Diketahui:

$P = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}$

$Q = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$

Maka:

$P \cdot Q = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$

$P \cdot Q = \begin{bmatrix} 2 \cdot 1 + 3 \cdot 4 & 2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 \\ 5 \cdot 1 + 2 \cdot 4 & 5 \cdot 3 + 2 \cdot 2 \end{bmatrix}$

$P \cdot Q = \begin{bmatrix} 2 + 12 & 6 + 6 \\ 5 + 8 & 15 + 4 \end{bmatrix}$

$P \cdot Q = \begin{bmatrix} 14 & 12 \\ 13 & 19 \end{bmatrix}$

SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Diketahui sebuah matriks

maka hasil perhitungan dari x+2xy+y = …..

Jawab:

Pertama, Anda harus menulis bentuk F+A-C seperti di bawah ini.

Dari bentuk matriks di atas, Anda dapat membentuk sebuah persamaan sesuai dengan baris dan kolom pada kedua ruas seperti 6+x = 8.

Dari persamaan ini, didapatkan nilai x=2. Kemudian Anda dapat memasukkan nilai tersebut pada persamaan 2 – y = -x atau y+6 = 5x. Sehingga di dapatkan nilai y adalah 4.

2. Diketahui sebuah matriks

Jika X+Y = M. Maka tentukan nilai a+b = …

Jawab:

Sama seperti soal sebelumnya, Anda harus menambahkan kedua matriks mengikuti persamaan yang diberikan seperti berikut ini.

Dari hubungan matriks pada kedua ruas memiliki posisi yang sama, maka Anda dapat secara langsung membentuk sebuah persamaan 2 + 3a = 8, sehingga di dapatkan nilai a = 2.

Hal ini juga Anda lakukan pada persamaan -2b – 2 = 10, sehingga nilai b = -6. Maka hasil a+b adalah 2 + (-6) = -4.

3. Jika matriks $\begin{pmatrix} 9 & 7 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$ dan $\begin{pmatrix} x-1 & x-12 \\ -x & x+4 \end{pmatrix}$ saling invers, tentukan nilai x!

Pembahasan:

Diketahui bahwa kedua matriks tersebut saling invers, maka berlaku syarat AA-1 = A-1A = I.

Sehingga:

$\begin{pmatrix} 9 & 7 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-1 & x-12 \\ -x & x+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 9(x-1) - 7x & 9(x-12) + 7(x+4) \\ 5(x-1) - 4x & 5(x-12) + 4(x+4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Sehingga pada elemen baris ke-1 kolom ke-1 memiliki persamaan:

9(x – 1) – 7x = 1

9x – 9 – 7x = 1

2x = 10

x = 5

4. Suatu perkalian matriks $\begin{pmatrix} 1 & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ x \end{pmatrix}$ menghasilkan matriks nol. Tentukan nilai x yang memenuhui persamaan tersebut!