PEMBUKTIAN: LANGSUNG, TAK LANGSUNG, KONTRADIKSI, INDUKSI MATEMATIKA
MEMBUKTIKAN PERNYATAAN
BARISAN, KETIDAKSAMAAN/PERTIDAKSAMAAN, KETERBAGIAN DENGAN METODE: LANGSUNG, TAK
LANGSUNG, KONTRADIKSI, INDUKSI MATEMATIKA
Metode Pembuktian Langsung
Pembuktian langsung adalah metode pembuktian yang menggunakan alur maju.Suatu bilangan bulat n disebut bilangan GENAP jika terdapat suatu bilangan bulat k, sehingga n = 2k. Contoh
6 adalah genap, sebab terdapat 3 sehingga 6 = 2(3)
-4 adalah genap, sebab terdapat (-2) sehingga -4 = 2(3)
Suatu bilangan bulat n disebut bilangan GANJIL jika terdapat suatu bilangan bulat k, sehingga n = 2k + 1.
Contoh
3 adalah ganjil, sebab terdapat 1 sehingga 3 = 2(1) + 1
-3 adalah ganjil, sebab terdapat (-2) sehingga -3 = 2(-2) + 1
Contoh Soal
Jika diketahui n adalah ganjil, maka buktikan bahwa n2 adalah ganjil.
Jawab Diketahui n adalah ganjil, artinya terdapat suatu bilangan bulat k sehingga n = 2k + 1.
Akan ditunjukkan bahwa ganjil. n2 = (2k + 1)2
= 4k2 + 4k + 1
= 2(2k2 + 2k) +1.
Perhatikan bahwa n2 = 2(2k2 + 2k) +1. Karena k adalah bilangan bulat, maka (2k 2 + 2k)
Pembuktian Tidak Langsung
Pembuktian tidak langsung atau pembuktian dengan kemustahilan (reductio ad absurdum) yang dibahas ada 2 cara yaitu :
1) Kontraposisi
Pembuktian tidak langsung kontraposisi digunakan untuk membuktikan pernyataan implikasi
Untuk membuktikan pernyataan implikasi kita cukup membuktikan kontraposisi dari implikasi pernyataan tersebut
Secara simbolik : p → q ≡ ~q → ~p
Untuk membuktikan kebenaran p → q, maka kita cukup membuktikan
kebenaran ~q → ~p
Contoh : Buktikan bahwa: “jika n2 bilangan ganjil, maka n bilangan ganjil”.
Bukti : Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akan membuktikan
kebenaran kontraposisinya.
Misalnya : p = n2 bilangan ganjil dan q = n bilangan ganjil
Apakah p → q benar ? Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?
Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka n bilangan genap, sehingga n dinyatakan dengan sebagai n = 2k, k bilangan asli.
Akibatnya n2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2).
Artinya n2 bilangan genap.
Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjil adalah BENAR,
sehingga kontraposisi ~q →~p juga BENAR.
Jadi implikasi p → q benar , ini berarti n2 bilanganganjil maka n adalah
bilangan ganjil.
2) Kontradiksi
Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atau teorema yang ada. Pengandaian konklusi salah tidak bisa diterima dan akibatnya konklusi yang ada benar berdasarkan premis yang ada
Contoh : Buktikan bahwa : “Untuk semua bilangan bulat n, jika n2 ganjil, maka n ganjil”.
Bukti : Andaikan bahwa q salah, atau ~q benar yaitu n bukan bilangan bulat
ganjil, maka n bilangan bulat genap.
Dapat dimisalkan n = 2k dengan k bilangan bulat.
Dengan demikian maka n2 = (2k)2 atau n2 = 4k2
Ini menunjukkan bahwa n2 = bilangan bulat genap (~p)
Terjadilah suatu kontradiksi : yang diketahui p benar, sedangdari langkah-langkah logis diturunkan ~p benar.
Oleh karena itu kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar yang berarti ~q salah atau q benar.
Induksi Matematika
Induksi itu digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan berlaku untuk setiap bilangan asli.
Prinsip Induksi Matematika :
Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n.
Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar maka P(k+1) juga benar, berakibat P(n) benar untuk semua n.
Contoh : Buktikan bahwa : “1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n2, untuk semua bilangan
asli n”.
Bukti : Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n2
P(1) benar, sebab 1 = 1
Bila P(k) benar, yaitu apabila ; 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k-1) = k2, maka
1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k-1 + 2k+1= (1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k- 1 + 2k+1.
= k2 + 2k + 1
= (k + 1)2
Sehingga P(k+1) benar
DAFTAR PUSTAKA
https://blog.ruangguru.com/matematika-kelas-11-pembuktian-matematika
https://www.academia.edu/18108359/Metode-Metode_Pembuktian_Matematika
http://atikazfblog.blogspot.com/2017/07/logika-matematika-metode-pembuktian.html?m=1
Komentar
Posting Komentar