SOAL DAN PEMBAHASAN MATEMATIKA KELAS 10 SEMESTER 2

-


PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

1.Tentukanlah nilai dari \sin 120^{\circ}+\cos 201^{\circ}+\cos 315^{\circ}!
Jawab:
\sin 120^{\circ} berada pada kuadran 2, sehingga nilainya tetap positif dengan besar sama seperti \sin 120^{\circ} = \sin (180-60)^{\circ} = \sin 60^{\circ} = \frac{1}{2} \sqrt{3}
\cos 120^{\circ} berada pada kuadran 3, sehingga nilainya negatif dengan besar sama seperti \cos 120^{\circ} = \cos (180+30)^{\circ} = - \cos 30^{\circ} = - \frac{1}{2} \sqrt{3}
\cos 315^{\circ} berada pada kuadran 4, sehingga nilainya positif dengan besar sama seperti \cos 315^{\circ} = \cos (360-45)^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{2} \sqrt{2}
Jadi \sin 120^{\circ}+\cos 201^{\circ}+\cos 315^{\circ}=\frac{1}{2} \sqrt{3} - \frac{1}{2} \sqrt{3}+\frac{1}{2} \sqrt{2}=\frac{1}{2} \sqrt{2}

 2. Besar sudut 72 derajat sama dengan ... rad
A. 15π                   C. 23π                  E. 56π               
B. 25π                   D. 34π        
 PEMBAHASAN:
Ingat bahwa 1∘=π180 rad
Dengan demikian,
72∘=722×π1805 rad=25π rad
Jadi, besar sudut 72∘ sama dengan 25π rad

 (Jawaban B)

3. Besar sudut yang sesuai dengan gambar di bawah adalah ⋯⋅

 Sudut yang terbentuk searah dengan jarum jam, sehingga tandanya negatif, yakni −30∘.
Karena satu putaran sama dengan 360∘, maka −30∘ sama dengan (360−30)∘=330∘
Jadi, besar sudutnya adalah 330∘
4. Besar sudut 3/4 π rad sama dengan ....
Ingat bahwa π rad=180∘
Dengan demikian,
34π rad=34×18045∘=3×45∘=135∘
Jadi, besar sudut 34π rad sama dengan 135∘
SUDUT BERELASI
5. Untuk setiap perbandingan trigonometri berikut, nyatakan dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya !
sin 20°
tan 40°
cos 53°

Jawab :
sin 20° = sin (90° − 70°)
sin 20° = cos 70°

tan 40° = tan (90° − 50°)
tan 40° = cot 50°

cos 53° = cos (90° − 37°)
cos 53° = sin 37°

Jika kita perhatikan sin berubah menjadi cos, tan berubah menjadi cot dan cos berubah menjadi sin dikarenakan relasi yang digunakan adalah (90° − α) dan ketiga perbandingan trigonometri diatas bernilai positif, karena sudut 20°, 40° dan 53° berada di kuadran I.

6.Diketahui cot (x + 36°) = tan 2x. Jika 2x adalah sudut lancip, tentukan nilai x !

Jawab :
cot (x + 36°) = tan 2x
Karena 2x sudut lancip, pastilah 2x terletak dikuadran I. Dengan menggunakan relasi sudut kuadran I, maka :
tan 2x = cot (90° − 2x)

Sehingga
cot (x + 36°) = cot (90° − 2x)
x + 36 = 90° − 2x
3x = 54
x = 18

 7. Nyatakan setiap perbandingan trigonometri berikut dalam sudut 37° !
tan 143°
sin 233°
cos 323°

Jawab :
Sudut 143° terletak pada kuadran II, sehingga tan 143° bernilai negatif.
tan 143° = tan (180° − 37°)
tan 143° = -tan 37°

Sudut 233° terletak pada kuadran III, sehingga sinus bernilai negatif.
sin 233° = sin (270° − 37°)
tan 233° = -cos 37°
Perhatikan bahwa sin berubah menjadi cos karena relasi yang digunakan (270° −  α)

Sudut 323° terletak pada kuadran IV, sehingga cosinus bernilai positif.
cos 323° = cos (360° − 37°)
cos 323° = cos 37°

8. Jika (x + 20°) adalah sudut lancip, tentukan nilai dari tan(x+110∘)2cot(x+20∘)

Jawab :
tan (x + 110°) = tan (90° + (x + 20°))
Karena (x + 20°) lancip, maka (90° + (x + 20°)) adalah sudut kuadran II, sehingga tangen bernilai negatif.
tan (90° + (x + 20°)) = -cot (x + 20°)

akibatnya
tan(x+110∘)2cot(x+20∘)=−cot(x+20∘)2cot(x+20∘)=−12

 9. Tanpa menggunakan kalkulator, tentukan nilai dari 
sin100∘−cos190∘cos350∘−sin260∘

Jawab :
sin 100° = sin (90° + 10°) = cos 10°
cos 190° = cos (180° + 10°) = -cos 10°
cos 350° = cos (360° − 10°) = cos 10°
sin 260° = sin (270° − 10°) = -cos 10°

Sehingga :
sin100∘−cos190∘cos350∘−sin260∘=cos10∘−(−cos10∘)cos10∘−(−cos10∘)=2cos10∘2cos10∘=1
10. Tentukan nilai dari :
sin (-30°)
cos (-135°)
tan (-330°)

Jawab :
sin (-30°) = -sin 30°
sin (-30°) = -12

cos (-135°) = cos 135°  (K.II cos negatif)
cos (-135°) = cos (180° − 45°)
cos (-120°) = -cos 45°
cos (-120°) = -12√2

tan (-330°) = -tan 330°  (K.IV tan negatif)
tan (-330°) = -{tan (360° − 30°)}
tan (-300°) = -{-tan 30°}
tan (-300°) = tan 30°
tan (-300°) = 13√3
ATURAN SINUS CONSINUS DAN LUAS SEGITIGA
11. Pada △ABC diketahui bahwa <A = 30°, BC = 6cm dan AC = 10cm. Maka tentukanlah nilai dari Sin B!
Pembahasan:

BC = a dan AC = b

   a       =    b  
Sin A     Sin B

  6     =     10  
Sin30°   Sin B

⇔ Sin B = 10 x Sin30°  ⇔  Sin B = 10 x ½   ⇔ Sin B = 5

 12. Pada △PQR diketahu besar <P = 60°, <R = 45° dan panjang QR adalah 8√3 cm. Tentukanlah panjang sisi PQ!

Pembahasan :

QR = p dan PQ = r

menurut aturan sinus      p     =     r             ⇔    8√3      =    r   
                                         Sin P      Sin R               Sin 60°     Sin 45°

  ⇔ r =   8√3 x Sin 45°  ⇔  r =   8√3  ½√2     ⇔ r = 8√2 cm
                   Sin  60°                          ½√3

13. Jika diketahui suatu △ABC memiliki panjang sisi c = 12√2cm, besar <A = 105° dan <C = 45° maka berapakah panjang sisi b?

Pembahasan :

Besar <B = 180° - (105° + 45°) = 30°


 b     =      c  
Sin B      Sin C

  b         =    12√2  
Sin 60°     Sin 45°


b = 12√2 x Sin  60°   = 12√2 x ½√3   =  12√3 cm
           Sin 45°                    ½√2


14. Ditentukan △PQR dengan panjang sisi QR = 4cm, PR = 10cm dan Sin Q = ½. Berapakah nilai Cos P?

Pembahasan :

QR = p dan PR = q


   p     =     q           ⇔    4         =    10  
 Sin P      Sin Q            Sin P           ½    


⇔ Sin P =  4 x ½   =  1
                      10           5  

⇔ Cos² P = 1 - Sin² P   ⇔ Cos² P = 1 - (⅕)²

⇔ Cos² P = 24/25  ⇔ Cos P = ⅖√6 cm


15. Sebuah △ABC memiliki panjang AB = 4 cm, BC = 6 cm dan AC = 8 cm. Nilai cos <ACB adalah...

Pembahasan :

Cos <ACB = BC² + AC² - AB²
                          2 x BC x AC

Cos <ACB = 6² + 8² - 4²   = 36 + 64 - 16    =  84    =  7
                       2 x 6 x 8             96                  96        8


PERSAMAAN TRIGONOMETRI

16. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:
\sin 3x = \cos 2x ; 0^{\circ} \le x \le 360^{\circ}
Pembahasaan:
\sin 3x = \cos 2x
\sin 3x = sin(90^{\circ} - 2x)
Sehingga,
3x = (90^{\circ} - 2x) + (k \cdot 360^{\circ})
5x = 90^{\circ} + (k \cdot 360^{\circ}) (kedua ruas dibagi 5)
x_1 = 18^{\circ} + (k \cdot 72^{\circ})
Atau,
3x = (180 - (90^{\circ} - 2x)) + (k \cdot 360^{\circ})
3x = (90^{\circ} + 2x) + (k \cdot 360^{\circ})
x_2 = 90^{\circ} + (k \cdot 360^{\circ})
Himpunannya,
k = 0 \rightarrow x = 18^{\circ} atau x = 90^{\circ}
k = 1 \rightarrow x = 90^{\circ}
K = 2 \rightarrow x = 162^{\circ}
k = 3 \rightarrow x = 234^{\circ}
Himpunan penyelesaiannya adalah (18^{\circ}, 90^{\circ}, 162^{\circ}, 234^{\circ})
17.Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri:
\cos 4x + 2\cos^2 2x + 14\sin 2x - 9 = 0; 0 \le x \le 2\pi
Pembahasan:
\cos 4x + 2\cos^2 2x + 14\sin 2x - 9 = 0;
(1 -2\sin^2 2x) + 2(1 - \sin^2 2x) + 14\sin 2x - 9 = 0
4\sin^2 2x - 14\sin 2x + 6 = 0
2\sin ^2 - 7\sin 2x + 3 = 0
(2\sin 2x - 1)(\sin 2x - 3) = 0
Didapat,
Akar 1:
2\sin 2x - 1 = 0
\sin 2x = \frac{1}{2} (bisa)
Akar 2:
\sin 2x - 3 = 0
\sin 2x = 3 (tidak bisa)
Sehingga,
\sin 2x = \frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{6})
2x = \frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi
x_1 = \frac{\pi}{12}+ k \cdot \pi
Atau,
2x = (\pi - \frac{\pi}{6}) + k \cdot 2\pi
x_2 = \frac{5\pi}{12}+k \cdot \pi
Himpunannya,
k = 0 \rightarrow x_1 = \frac{\pi}{12}
\rightarrow = \frac{5\pi}{12}
k = 1 \rightarrow x_1 = \frac{13\pi}{12}
\rightarrow x_2 = \frac{17\pi}{12}
Himpunan penyelesaiannya adalah:
(\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12},\frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12})

18.Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos 2x + sin x = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 360° adalah ...

Pembahasan :
cos 2x + sin x = 0
1 - 2sin²x + sin x = 0
2sin²x - sin x - 1 = 0
(2sin x + 1)(sin x - 1) = 0
sin x = -1/2  atau  sin x = 1

sin x = -1/2,  0 ≤ x ≤ 360°
Sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV.
K.III     →  x = 180° + 30° = 210°
K.IV     →  x = 360° - 30° = 330°

sin x = 1,  0 ≤ x ≤ 360°
             →  x = 90°

Jadi, HP = {90°, 210°, 330°}

GRAFIK TRIGONOMETRI
Perhatikan grafik di bawah!
19.
Persamaan fungsi trigonometri yang sesuai pada grafik di atas adalah ….
  \[ \textrm{A.} \; \; \; y = 2 Sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \]
  \[ \textrm{B.} \; \; \; y = 2 Sin \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) \]
  \[ \textrm{C.} \; \; \; y = 2 Sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) \]
  \[ \textrm{D.} \; \; \; y = 2 Cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \]
  \[ \textrm{D.} \; \; \; y = 2 Cos \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) \]
Pembahasan:
Grafik fungsi trigonometri merupakan bentuk grafik fungsi sinus. Persamaan umum grafik fungsi trigonometri untuk fungsi sinus adalah:
  \[ y = A \; \textrm{Sin} \; k (x \pm \alpha ) \pm c \]
Menghitung banyaknya gelombang dalam 1 periode (k):
Berdasarkan informasi grafik fungsi trigonometri yang diberikan pada soal, diketahui bahwa pada rentang - \frac{pi}{6} sampai dengan \frac{5 \pi }{6} memuat setengah periode.
  \[ \frac{\pi}{k} = \left( \frac{5 \pi}{6} - \left( - \frac{\pi}{6} \right) \right) \]
  \[ \frac{ \pi }{k} = \frac{5 \pi}{6} + \frac{\pi}{6} \]
  \[ \frac{ \pi }{k} = \frac{6 \pi}{6} \]
  \[ k = \frac{6 \pi}{6 \pi} = 1 \]
Jadi banyaknya gelombang dalam satu periode adalah 1 (k = 1).
Mencari nilai Amplitudo (A): nilai tertinggi yang dapat dicapai grafik fungsi trigonometri adalah 2 atau – 2 , sehingga nilai amplitudonya sama dengan 2 (A = 2).
Grafik fungsi trigonometri yang diberikan pada soal bergeser sejauh \frac{\pi}{6} ke arah kiri, sehingga persamaan akan mendapat tambahan + {\pi}{6}.
Jadi, persamaan grafik fungsi trigonometri yang sesuai dengan soal adalah:
  \[ y = 2 \cdot Sin \; 1 \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \]
  \[ y = 2 Sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \]
Jawaban: A
20. Grafik f(x)= 2 cos x memotong sumbu-X di titik berkoordinat...
Pembahasan:
Apabila grafik memotong sumbu-X, maka nilai f(x)=y=0. Dengan demikian,
f(x)=2cos⁡x⇒0=2cos⁡x⇔cos⁡x=0
Nilai x yang membuat cos⁡x bernilai 0 adalah 90∘.
Jadi, titik potong grafiknya berkoordinat (90∘,0)

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

SOAL TRANSFORMASI DAN PENYELESAIANNYA

-
Gambar
1. Bayangan garis y = 2x + 2 yang dicerminkan terhadap garis y= x adalah. . . Pembahasan : Jawaban : C 2. Persamaan bayangan kurva y = x² – 2x – 3 oleh rotasi [0, 180°], kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis y = -x adalah …. A. y = x² – 2x – 3 B. y = x² – 2x + 3 C. y = x² + 2x + 3 D. x = y² – 2y – 3 E. x = y² + 2y + 3 Pembahasan : Rotasi sudut-sudut yang lain dapat dihitung sendiri menggunakan kaidah trigonometri. pencerminan terhadap garis y = -x Jawaban : D 3. Persamaan bayangan dari lingkaran x² +y² +4x – 6y – 3 = 0 oleh transformasi yang berkaitan dengan matriks adalah…. A. x² + y² – 6x – 4y- 3 = 0 B. X² + y² – 6x + 4y- 3 = 0 C. x² + y² + 6x – 4y- 3 = 0 D. x² + y² – 4x + 6y- 3 = 0 E. x² + y² + 4x – 6y+ 3 = 0 Jawaban : A Pembahasan : 4. T1 dan T2 adalah transformasi yang masing-masing bersesuaian dengan Ditentukan T = T1 o T2 , maka transformasi T bersesuaian dengan matriks… Jawaban : E Pembahasan : 5. Ditentukan matriks transformasi . Hasil transformasi titik (2,-...
Baca selengkapnya