TRIGONOMETRI

Hai... 🤗

Saya Mawar Puspitasari,
Dalam blog pertama saya, saya akan menguplod tugas yang diberikan oleh guru matematika saya.
Tugas ini berisi perihal materi yang saya sukai dari semester 2, yaitu bab 6 mengenai trigonometri. Saya juga akan memberi sedikit materi tentang trigometri.





Menurut banyak orang trigonometri merupakan salah satu materi yang sulit. Akan tetapi, kalo kita mempelajarinya dengan senang hati dan terus berlatih, kita dapat memahami materi ini. Sebenarnya, kita sudah mempelajari trigonometri dari kelas 9, yaitu aljabar. Karena materi ini sebelumnya pernah di pelajari di kelas 9 dan dikembangkan lagi di kelas 10, sebab itu saya menyukai materi ini.

Nah, kali ini saya akan memberi sedikit tentang materi trigonometri

SUDUT IDENTITAS

SUDUT ISTIMEWA

KUADRAN TRIGONOMETRI

CONTOH TRIGONOMETRI

Tentukanlah nilai dari !

Jawab:

 berada pada kuadran 2, sehingga nilainya tetap positif dengan besar sama seperti 

 berada pada kuadran 3, sehingga nilainya negatif dengan besar sama seperti 

 berada pada kuadran 4, sehingga nilainya positif dengan besar sama seperti 

Jadi 

Semoga materi yang saya sampaikan bermanfaat ☺️✌️

Terimakasih 🙏

-Mawar Puspitasari (27 April 2020)

 SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI 

3.7 Menyelesaikan cara merubah satuan pengukuran sudut trigonometri radian ke derajat, derajat ke radian

Konversi Radian ke Derajat

Karena 1 rad = 180°/π, untuk mengubah x radian ke derajat dapat dilakukan dengan mengalikan x dengan 180°/π  ditulis x rad = x⋅180°/π

Contoh 1

Ubahlah  sudut-sudut berikut dalam derajat

a.  π/3 rad = ... °

b.  4π rad = ... °

 Jawab :

a.  π/3 rad  =  π/3. 180°/π =  60°

b.  4π rad  =  4π . 180°/π  =  720°

Konversi Derajat ke Radian

Karena 1° = 180°/π rad, untuk mengubah x derajat ke radian dapat dilakukan dengan mengalikan x dengan 180°/π rad, ditulis x° = x. 180°/π rad

Contoh 2 

Ubahlah sudut-sudut berikut dalam radian

a. 30° = ... rad

b. 270° = ... rad

Jawab :

a.  30°  =  30 . 180°/π rad  =  π/6 rad

b.  270°  =  270 . 180°/π rad  =  3π/2 rad

3.7 Menyelesaikan rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku dan dudut istimewa (60⁰ , 30⁰ , 45⁰ )

Pada gambar di atas, segitiga siku-siku ABC dengan panjang a= 8 dan c= 10.

Tentukan keenam perbandingan trigonometri untuk a.

Penyelesaian:

Nilai b dihitung dengan teorema Pythagoras

b = √10^2 - 8^2 

   = √100-64

   = √36 

   = 6

Sin a = a/c = 8/10            csc a = c/a =10/8

Cos a = b/c = 6/10           sec a = c/b =10/6 

Tan a = a/b = 8/6             cot a = b/a = 6/8

3.7 Menyelesaikan rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku di dalam koordinat kartesius

Sebuah perahu berlayar dari pelabuhan dengan arah 45°. Kecepatan rata-rata perahu 12km/jam. Setelah 5 jam,jarak perahu dari timur pelabuhan adalah... M

 Pembahasan :

Jarak = 12 . 5 = 60 km

Sudut dari timur ke pelabuhan = 90 - 60 = 30 derajat

Sin 30 = y/60

1/2 = y/60

1/2 . 60 = y

30 km = y

3.7 Menyelesaikan nilai trigonometri pada suatu sudut segitiga siku-siku pada koordinat cartesius

Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya

sin 20°

pembahasan :

sin 20° = sin (90° − 70°)

= cos 70°

tan 40°

pembahasan :

tan 40° = tan (90° − 50°)

= cot 50°

3.7 Menyelesaikan komposisi operasi (+, -, :, dan •) nilai trigonometri
nilai dari sin 30° . cos 60° + sin 60° . cos 30°
Pembahasan :
sin 30° . cos 60° + sin 60° . cos 30°
1/2   . 1/2 + 1/2  . 1/2
1/4  + 1/4 .
1/4 + 1/4 . 3
1/4 + 3/4
4/4
= 1

3.8 Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran

Jika sin a = 1/2 , a di kuadran II , maka nilai dari tan a

Pembahasan :

Jadi tan A adalah : -1/3

3.8 Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut-sudut berelasi (kuadrat: I, II, III, IV), sudut negatif, dan sudut > 360⁰
Jika sin 30° =½ maka cos 300°=
Pembahasan :
cos 300°
cos (360° - 60°)
cos 60°
cos (90° - 30°)
sin 30°


= 1/2

3.8 Menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana atau persamaan indentitas trigonometri = rumus identitas trigonometri


1.Jika0° ≤ x ≤ 180° maka x yang memenuhi tan (2x-10°)=√3

Jawab :

Tan (2x-10°)=√3

Tan (2x-10°)=60°

2x-10=60 +(k.180)

2x = 60 + 10 + (k.180)

2x =20 + (k.180) = 2


 X = 35 + (k.90)


K=0 x= 35 + (0.90)

       x= 35

k=1 x=35+ (1.90)

       x=125

k=2 x=35+ (2.90)

       x=215 tm


x yang memenuhi = {35°,125°}



2. Nilai x yang memenuhi persamaan sin x 1/2 √3 persamaan trigono untuk

0° ≤ x ≤ 360° adalah…….

Jawab:

Kemungkinan 1

x = 60°+ k.360°

untuk k= 0 ,diperoleh x = 60° (benar)

untuk k=1 ,diperoleh x = 420° (salah)



kemungkinan 2

x=(180°-60°) + k.360°

x=120° + k.360°

untuk k = 0 ,diperoleh x = 120° (benar)

untuk k = 1 ,diperoleh x = 480° (salah)

jadi nilai x yang memenuhi persamaan tersebut bila dinyatakan dalam notasi himpunan 
adalah {60°,120°}.


3.8 Menyelesaikan Koordinat kutub ke koordinat kartesius, koordinat kartesius ke koordinat kutub
Jika diketahui koordinat kutub (6√3, 60°), maka koordinat kartesiusnya adalah.....
PEMBAHASAN :
koordinat kutub ⇒ koordinat kartesius
 (r , α) ⇒ ( x , y )   
r = 6√3 ;         α = 60°
(Karena α sudut di kuadran I, maka x positif f dan y positif)
x = r cos α
⇒ 6√3 x cos 60°
⇒ 6√3 x 1/2
⇒ 3√3

y = r sin α
⇒ 6√3 x sin 60°
⇒ 6√3 x 1/2 √3
⇒ 3 x 3
⇒ 9
sehingga koordinat kartesiusnya ialah ( 3√3 , 9)  

3.8 Menyelesaikan soal cerita perbandingan trigonometri

Bagus berdiri dengan jarak 80 m dari sebuah menara memandang puncak menara dengan sudut elevasi 30o. Jika jarak mata Bagus dengan tanah adalah 150 cm, tinggi menara tersebut adalahPembahasan :

 Jadi, tinggi menara adalah ;
80. tan30o + 1,580 . 1/3  + 1,5
= (80/3 ) m

3.9 Menyelesaikan aturan sinus diketahui 2 sudut dan 1 sisi

Pada segitiga ABC diketahui AC=10 cm, besar sudut B=45 derajat, dan besar sudut A=30 derajat. tentukan panjang BC.

Diketahui :
Panjang AC = b = 10 cm
Sudut B = 45°
Sudut A = 30°

Ditanyakan :
Panjang BC = a = ...... 

Pembahasan :
Dengan aturan sinus
a/(sin A) = b/(sin B)
a/(sin 30°) = 10/(sin 45°)
a/(1/2) = 10/(1/2 √2)
a/1 = 10/(√2)
a = 10/(√2) . (√2)/(√2)
a = (10 √2)/2


a = 5 √2

3.9 Menyelesaikan aturan sinus diketahui 1 sudut dan 2 sisi

Diketahui suatu taman di tengah kota berbentuk segitiga sembarang. Jika sudut apit sebesar 60o dan dua sisi yang mengapitnya masing-masing panjangnya 18 meter dan 16 meter, maka luas taman tersebut adalah Pembahasan :L = 1/2 . 18. 16. Sin 60o
L = 1/2 . 18 . 16 . 1/2Maka L = 72 m2

3.9 Menyelesaikan aturan cos ditanya sisi

Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a yaitu 10 cm dan panjang sisi c yaitu 12 cm. Jika besar sudut yang diapit oleh a dan c yaitu 46o, maka tentukan panjang sisi b
Pembahasan :
b2 = a2 + c2 − 2ac cos B
b2 = 102 + 122 − 2(10)(12) cos 46o
b2 = 100 + 144 − 240 (0.6946)
b2 = 244 − 166,7
b2 = 77,3

b = 8,8 cm

3.9 Menyelesaikan aturan cos ditanya sudut

1. Jika panjang a, b, dan c dalam segitiga ABC berturut-turut adalah 8 cm, 7 cm, dan 4 cm, maka besar sudut A adalah ...

PEMBAHASAN :

Berdasarkan aturan cosinus: 


⇒cos a = (b2 + c 2 − a2 ) / 2bc 

⇒cos a = (72 + 42 − 82 ) / 2(7)(4) 

⇒cos a = (49 + 16 − 64) / 56 

⇒cos a = 1/56  

⇒cos a = 0,017 

⇒ a = 89°


Jadi, besar sudut A adalah 89°

3.9 Menyelesaikan Luas segitiga jika diketahui: 1 sudut 2 sisi, 3 sisi, 2 sudut 1 sisi
Diketahui segitiga abc dengan ab= 6 cm,ac= 8 cm sudut a= 150 derajat. Luas segitiga abc

Pembahasan :

L = ½.ab.ac.Sin a

L = ½.6.8.Sin 150°


L = 12 cm²

3.10 Menyelesaikan gambar fungsi trigonometri f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = csc x, f(x) = sec x, f(x) = cot x

Grafik di atas merupakan modifikasi grafik cosinus (karena tidak dimulai dari garis normal di sumbu-

$X$) dengan bentuk umum $f\left(x\right)=a\cos kx$.
Grafik juga menunjukkan bahwa nilai maksimum fungsinya $\frac{1}{2}$, sedangkan nilai minimumnya $-\frac{1}{2}$, sehingga
$\begin{array}{cc}a& =\frac{\text{N. Maksimum}-\text{N. Minimum}}{2}\\ & =\frac{\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})}{2}=\frac{1}{2}\end{array}$
Saat $x=0^{\circ }$, nilai fungsinya $\frac{1}{2}$, lalu berulang kembali di $x=\pi$, sehingga periodenya $\pi$. Dengan demikian, $k=\frac{2\pi }{\text{Periode}}=\frac{2\pi }{\pi }=2$.

Grafik fungsi di atas adalah grafik fungsi $f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cos 2x$

3.10 Menyelesaikan membaca gambar fungsi trigonometri f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = csc x, f(x) = sec x, f(x) = cot x

Diketahui f(x) = sin(cos x)

PEMBAHASAN :

 f"(x) = - (cos x) . (cos (cos x)) – (sin x) . (sin x) . (sin (cos x))

2. Temukan turunan pertama dari f (x) = tan x + Sec x

PEMBAHASAN :

f''(x) = sec 2x + Sec  x tan x = Sec x ( Sec x + tan x)

3.7 Menyelesaikan sudut elevasi, sudut depresi

Sebuah gedung yang tingginya 50 m dan terdapat sebuah batu besar di dekat gedung. Jika sudut depresi dari titik puncak gedung terhadap batu tersebut adalah 30⁰ maka jarak batu terhadap dasar gedung tersebut adalah …

PEMBAHASAN :

tan 30⁰ = 50/x

1/√3 = 50/x

x = 50√3 

Jadi jarak batu terhadap dasar gedung tersebut adalah 50√3 m

3.10 Menyelesaikan fungsi trigonometri dengan menggunakan lingkaran satuan untuk menentukan periode maksimum dan minimum
Nilai minimum dari fungsi y = √3 cos x - sin x adalah...
pembahasan : 
Nilai Maksimum minimum fungsi trigonometri

y = √3 cos x - sin x  ubah  bentu ke y = k  cos ( x -  a)
a= √3
b = - 1
k = √(a²+b²)
k = √(3 +1)= +_2

Jadi, nilai minimum nya adalah = -2